كاربرد روش مونت كارلو در حل معادلات ديفرانسيل
نگاه اجمالی
فیزیک محاسباتی همان طوری که از نامش بر می‌آید، شامل محاسباتی است که در فیزیک انجام می‌گیرد. می‌دانیم که روش حل عددی در تمام مسائل فیزیک به پاسخ منجر نمی‌شود. بعبارت دیگر ، موارد معدودی وجود دارد که با توسل به روشهای تحلیلی قابل حل هستند و لذا در موارد دیگر باید از روشهای عددی و تقریبی استفاده کنیم. هدف فیزیک محاسباتی تشریح و توضیح این روشها می‌باشد.
به عنوان مثال ، فرض کنید با یک خط‌کش طول میزی را اندازه بگیریم، طبیعی است که بخاطر خطای اندازه‌گیری اگر 10 بار طول میز اندازه‌گیری شود، در هر بار اندازه‌گیری مقداری که با مقادیر قبلی تفاوت جزئی دارد، حاصل خواهد شد. بنابراین برای تعیین طول واقعی نیز با بیشترین دقت باید به روشهای آماری متوسل شویم.
توزیع‌های آماری
معمولا اگر داده‌های تجربی حاصل از آزمایشها را بر روی یک نمودار پیاده کنیم، در اینصورت ، بر اساس نمودار حاصل ، این داده‌ها از توزیع بخصوصی تبعیت خواهند کرد. این توزیع‌ها را اصطلاحا توزیع‌های آماری می‌گویند که معروفترین آنها عبارتند از:
توزیع دوجمله‌ای
فرض کنید تاسی را n بار پرتاب کنیم و هدف ما آمدن عدد 6 باشد. در اینصورت ، این عمل را 'آزمون' و تعداد دفعاتی را که عدد 6 ظاهر شده است، 'موفقیت' و مواردی را که اعداد دیگر ظاهر شده است، 'عدم موفقیت' می‌گویند. بنابراین ، اگر موفقیت‌ها بر یکدیگر تاثیر نداشته و مستقل از یکدیگر باشند و نیز ترتیب مهم نباشد، در اینصورت ، داده‌ها از توابع توزیع دوجمله‌ای پیروی می‌کنند.
توزیع پواسون
اگر چنانچه تعداد حالات با تعداد آزمونها به سمت بینهایت میل کند و نیز احتمال موفقیت (p) به سمت صفر میل کند، در اینصورت ، داده‌ها از تابع پواسون پیروی می‌کنند. شرط عملی برای استفاده از توزیع پواسون این است که تعداد آزمونها بیشتر از 30 بار بوده و نیز احتمال موفقیت کمتر از 0.05 باشد. لازم به ذکر است که این دو شرط باید بطور همزمان برقرار باشند. این معیار عملی از روی هم گذاشتن توابع توزیع و گزینش بهترین انتخاب و از روی آن تعیین N و P ویژه حاصل می‌گردد.
توزیع گاوسی
توزیع گاوسی یا نرمال یک نقش اساسی در تمام علوم بازی می‌کند. خطاهای اندازه‌گیری معمولا به‌وسیله این توزیع داده می‌شود. توزیع گاوسی اغلب یک تقریب بسیار خوبی از توزیع‌های موجود می‌باشد. دیدیم که اگر N بیشتر شده و احتمال موفقیت (P) کوچک باشد، در این صورت توزیع پواسون حاکم است. حال اگر تعداد آزمونها (N) به سمت اعداد خیلی بزرگتر میل کند، بطوری که حاصلضرب NP به سمت 20 میل کند، در این صورت شکل تابع توزیع حالت تقارن پیدا می‌کند، بگونه‌ای که می‌توان آن را با یک توزیع پیوسته جایگزین کرد. این توزیع پیوسته همان توزیع گاوسی است.
برازش
اغلب اتفاق می‌افتد که نموداری در اختیار داریم و می‌خواهیم مدل فیزیکی را که بر این نمودار حاکم است، پیدا کنیم. فرض کنید در یک حرکت سقوط آزاد اجسام ، زمان و ارتفاع سقوط را اندازه‌گیری کرده و نتایج حاصل بر روی یک نمودار پیاده شده است. حال با توجه به اینکه معادله حرکت سقوط آزاد اجسام را می‌دانیم و می‌خواهیم با استفاده از این نمودار مقدار g ، شتاب جاذبه ثقل ، را تعیین کنیم. بنابراین ، در چنین مواردی از روش برازش که ترجمه واژه لاتین (fitting) می‌باشد، استفاده می‌کنیم. در این حالت ابتدا باید توزیع حاکم بر این داده‌ها را بشناسیم که اغلب در چنین مواردی توزیع حاکم ، توزیع گاوسی است.
حل دستگاه معادلات
معمولا در مسائل عددی به مواردی برخورد می‌کنیم که یک دستگاه n معادله n مجهولی ظاهر می‌گردد. در این صورت ، برای حل این معادلات به طریق عددی از روشهای مختلفی استفاده می‌شود. یکی از این روشها ، حل دستگاه معادلات به روش حذف گوسی (روش کاهش یا حذف گاوسی) می‌باشد. البته روشهای دیگری مانند حل دستگاه معادلات به روش محورگیری و موارد دیگر نیز وجود دارد که بسته به نوع مسئله مورد استفاده ، از آن روش استفاده می‌گردد.
انتگرال گیری عددی
اگر مسئله‌ای وجود داشته باشد که در آن انتگرالهای دوگانه یا سه‌گانه ظاهر شود، البته با اندکی زحمت می‌توان این انتگرالها را به صورت تحلیلی حل کرد. اما این موارد چندان زیاد نیستند و در اغلب موارد به انتگرالهای چندگانه‌ای برخورد می‌کنیم که حل آنها به روش تحلیلی تقریبا غیرممکن است. در چنین مواردی از روش انتگرالگیری عددی استفاده می‌شود. روشهایی که در حل انتگرالها به روش عددی مورد استفاده قرار می‌گیرند، شامل روش ذوزنقه‌ای ، روش سیمپسون یا سهمی و روشهای دیگر است. البته خطای مربوط به این روشها متفاوت بوده و بسته به نوع مسئله‌ای که انتگرال در آن ظاهر شده است، روش مناسب را انتخاب می‌کنند. تقریبا دقیق‌ترین روشها ، انتگرالگیری به روش مونت کارلو می‌باشد، که امروزه در اکثر موارد از این روش استفاده می‌گردد. مزیت این روش به روشهای دیگر در این است که اولا محدودیتی وجود ندارد و انتگرال هر چندگانه که باشد، با این روش حل می‌شود. در ثانی ، این روش نسبت به روشهای دیگر کم هزینه‌تر است.
شبیه سازی
آنچه امروزه بیشتر مورد توجه قرار دارد، شبیه سازی سیستمهای فیزیکی است. به عنوان ابتدایی‌ترین و ساده‌ترین مورد می‌توان به حرکت آونگ ساده اشاره کرد. در این حالت یک برنامه کامپیوتری نوشته می‌شود، بگونه‌ای که حرکت آونگ را بر روی صفحه کامپیوتر نمایش دهد. در ضمن کلیه محدودیت‌های فیزیکی حاکم بر حرکت نیز اعمال می‌شود. در واقع مثل اینکه بصورت تجربی آونگی را به نوسان در می‌آوریم و دوره تناوب و سایر پارامترهای دقیق در مسئله را تعیین می‌کنیم. البته این مثال خیلی ابتدایی و ساده است. لازم به ذکر است ، شبیه سازی به روش مونت کارلو به دو صورت می‌تواند مطرح باشد. حالت اول عبارت از شبیه سازی با رسم تصویر متوالی است. درست مانند مثالی که در بالا اشاره کردیم. حالت دوم شبیه سازی آماری یا احتمالی است. بعنوان مثال ، انواع اندرکنش‌های فوتون با ماده را که به پدیده‌های مختلفی مانند اثر فوتوالکتریک ، اثر کامپتون ، پدیده تولید زوج و ... منجر می‌گردد، با این روش می‌توان مورد مطالعه قرار داد.
متد مونت کارلو چیست؟
به صورت کلی، متد مونت کارلو (یا شبیه سازی مونت کارلو) به هر تکنیکی اتلاق می‌شود که از طریق نمونه‌سازی آماری، پاسخ‌های تقریبی برای مسائل کمّی فراهم می‌کند. شبیه‌سازی مونت کارلو بیشتر برای توصیف روشی جهت انتشار عدم قطعیت‌های موجود در ورودی مدل به عدم قطعیت‌ها در خروجی مدل، به کار می‌رود. بنابراین مونت‌کارلو، شبیه‌سازی‌ای است که صریحا و به صورت کمّی، عدم قطعیت را نمایش می‌دهد. شبیه‌سازی مونت کارلو متکی به فرآیند نمایش صریح عدم قطعیت با تعیین ورودی‌ها به عنوان توزیع‌های احتمال است. اگر ورودی‌های توصیف‌کننده یک سیستم، غیرقطعی باشند، آنگاه پیش‌بینی عملکرد پیش رو الزاما غیرقطعی است. این بدان معنی‌ست که نتیجه هر گونه تحلیل مبتنی بر ورودی‌های نمایش داده شده با توزیع‌های احتمال، خود یک توزیع احتمال است.
از آنجایی‌که نتیجه شبیه‌سازی یک سیستم غیرقطعی، یک گزارش مشروط است (“اگر سد بسازیم، ماهی‌های سالمون منقرض می‌شوند”)، نتیجه یک شبیه‌سازی احتمالی (مونت کارلو) یک احتمال مشروط است (” اگر سد بسازیم، ۲۰% شانس وجود دارد که ماهی‌های سالمون منقرض شوند). این نتیجه (در این مورد، بیان کمّی شانس منقرض شدن) اغلب برای تصمیم گیرندگانی که از نتایج شبیه‌سازی استفاده می‌کنند، بسیار مفیدتر است. به منظور محاسبه توزیع احتمال کارایی پیش‌بینی شده، لازم است تا عدم قطعیت‌های ورودی به عدم قطعیت‌های خروجی منتقل شود. متدهای گوناگی برای انتقال عدم قطعیت وجود دارند. شبیه‌سازی مونت کارلو احتمالا رایج‌ترین تکنیک برای انتشار عدم قطعیت موجود در جنبه‌های مختلف یک سیستم به کارایی پیش‌بینی شده است. در شبیه‌سازی مونت کارلو، کل سیستم به تعداد دفعات زیادی اجرا می‌شود (برای مثال ۱۰۰۰ بار). به هر بار شبیه‌سازی، تحقق (realization) سیستم گفته می‌شود. برای هر تحقق، تمام پارامترهای غیرقطعی نمونه‌برداری می‌شود (یعنی یک مقدار تصادفی از توزیع اختصاصی مربوط به هر پارامتر، انتخاب می‌شود). سپس این سیستم در طول زمان شبیه‌سازی می‌شود (با معین بودن مجموعه پارامترهای ورودی) به گونه‌ای که کارایی سیستم بتواند محاسبه شود. این امر منتج به ایجاد تعداد زیادی نتیجه مستقل و جداگانه می‌شود، که هر کدام نمایشگر یک “آینده” احتمالی برای سیستم هستند (یعنی یک مسیر احتمالی که سیستم احتمالا با گذشت زمان دنبال خواهد کرد). نتایج تحقق‌های مستقل سیستم به شکل توزیع‌های احتمالی خروجی‌های ممکن درخواهند آمد. در نتیجه، خروجی‌ها به صورت مقادیر تک نیستند، بلکه توزیع احتمال هستند.
یک مثال ساده: پرتاب تاس
یک مثال ساده از شبیه‌سازی مونت کارلو، در نظر گرفتن احتمال رخداد یک حاصل‌جمع مشخص از پرتاب دو تاس است (هر کدام از تاس ها شامل اعداد ۱ تا ۶ هستند). در این مورد خاص، ۳۶ ترکیب مختلف برای حاصل جمع تاس‌های پرتاب شده وجود دارد.
تاریخچه روش مونت کارلو
نام شبیه‌سازی مونت کارلو از شهری در موناکو گرفته شده است (این شهر به خاطر کازینوهایش معروف است) که در آن بازی‌های شانسی (مانند بازی رولت چرخان) که شامل رخدادهای تکرارشونده با احتمال‌های معلوم هستند رواج دارد.
کاربردهای فیزیکی روش های مونت کارلو
1- برای مطالعات مسائل شکافت نوترون پایه گذاری شده اند.
2- برای هدایت رسانایی و هدایت گرمای تابشی اعمال می شود.
3- انتقال حالت پایدار.
4- انتقال گذرا.
5- تنظیمات هندسی.
6- شرایط مرزی مختلف از جمله تابشی و انتقال همرفتی با منابع حجمی.
